On Monday, October 23, 2023 at 9:36:28 AM UTC+2, WM wrote:
> mitchr...@gmail.com schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 03:30:24 UTC+2:
> >
> > Calculating or counting can't reach the unlimited.
> > You would be doing them forever instead...
> >
> Indeed, but Cantor claims "The infinite sequence thus defined has the peculiar property to contain the positive rational numbers completely, and each of them only once at a determined place." [G. Cantor, letter to R. Lipschitz (19 Nov 1883)]

Was in Gottes Namen hat Cantors Zitat mit dem von Mitch Gesagten zu tun?

Hint: "_Counting_ is the process of determining the number of elements of a finite set of objects; that is, determining the size of a [finite] set." (Wikipedia)

Fritz Feldhase schrieb:
> On Monday, October 23, 2023 at 9:34:11 AM UTC+2, WM wrote:
>> Fritz Feldhase schrieb am Sonntag, 22. Oktober 2023 um 12:50:28 UTC+2:
>>> On Sunday, October 22, 2023 at 11:52:39 AM UTC+2, WM wrote:
>>>>
>>>> A bijection with ℕ is counting.
>>>>
>>> This statement does not make any sense.
>>>
>> Try better. Read Cantor.
>>
>> Dabei nenne ich zwei wohlgeordnete Mengen von demselben Typus und schreibe ihnen gleiche Anzahl zu, wenn sie sich unter Wahrung der festgesetzten Rangordnung ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander abbilden [...] lassen.
>
> Du bist eindeutig zu dumm, um Cantor zu verstehen.

Er nimmt die Formulierung "Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander
abbilden" offensichtlich wörtlich: Man muss in Mückenhausen nacheinander
jedes Paar einer Bijektion konstruieren.

Dass das von Cantor natürlich nicht so gemeint ist, bringt dieser selbst
klar zum Ausdruck:

|"[Es] wird bewiesen, daß äquivalente Mengen immer eine und dieselbe
| Mächtigkeit oder Kardinalzahl haben und daß auch umgekehrt Mengen
| von derselben Kardinalzahl äquivalent sind. [...]
| Die Kenntnis nur eines /Zuordnungsgesetzes/ für zwei Mengen M und M_1
| /genügt/, um die Äquivalenz derselben zu konstatieren; doch gibt es
| immer viele, im allgemeinen sogar unzählig viele Zuordnungsgesetze,
| durch welche zwei äquivalente in gegenseitig eindeutige und
| vollständige Beziehung zueinander gebracht werden können."
(Cantor: Gesammelte Abhandlungen, S.413)

> Hints:
>
> 1. "_Counting_ is the process of determining the number of elements of a finite set of objects; that is, determining the size of a [finite] set." (Wikipedia)
>
> 2. A bijection is not a process.

Das wird WM in diesem Leben nicht mehr begreifen.

Dieter Heidorn

On 10/22/2023 5:52 AM, WM wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Samstag,
> 21. Oktober 2023 um 23:22:21 UTC+2:

> [...]

> A bijection with ℕ is counting.

A bijection with ℕ is
a set B ⊆ ℕ×A of pairs ⟨n,x⟩ for
each n ∈ ℕ and each x ∈ A
one match each in B and no others
∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ A:
∃!!⟨n,x⟩ ∈ B:

∃!!⟨n,x⟩ ∈ B :⇔
∃⟨n,x⟩ ∈ B ∧
¬∃⟨n,x′⟩ ∈ B: x′ ≠ x ∧
¬∃⟨n′,x⟩ ∈ B: n′ ≠ n

∀n ∈ ℕ: |ℕ\⟨1,…,n⟩| = |ℕ|
because
∀n ∈ ℕ:
∀i ∈ ℕ, ∀j ∈ ℕ\⟨1,…,n⟩:
∃!!⟨i,j⟩ ∈ {⟨i′,i′+n⟩| i′ ∈ ℕ}

|ℕ\⟨1,2,…⟩| = |∅|
because
ℕ = ⟨1,2,…⟩

∀n ∈ ℕ: ℕ ≠ ⟨1,…,n⟩

1 ∈ ⟨1,2,…⟩ ᣔ⤾⁺¹
∀S: 1 ∈ S ᣔ⤾⁺¹ ⟹ S ⊇ ⟨1,2,…⟩

n+1 ∈ ℕ\⟨1,…,n⟩
∀S: n+1 ∈ S ᣔ⤾⁺¹ ⟹ S ⊇ ℕ\⟨1,…,n⟩

S ᣔ⤾⁺¹ :⇔ ∀i ∈ S ∋ i⁺¹

i⁺¹≠0 ∧ ¬∃h≠i:h⁺¹=i⁺¹ ∧ ∃k=(i⁺¹)⁺¹

Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 18:02:11 UTC+2:

> 2. A bijection is not a process.

Every pair of a bijection with |N can be counted to. This is a process.

Regards, WM

Jim Burns schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 18:05:19 UTC+2:
> On 10/22/2023 5:52 AM, WM wrote:

> > A bijection with ℕ is counting.
> A bijection B of set A with ℕ
> is a set B ⊆ ℕ×A of pairs ⟨n,x⟩ for
> each n ∈ ℕ and each x ∈ A
> one match each in B and no others

Every pair can be counte to.

> _Whatever you call a bijection_
> can't change that:
> for B = {⟨n,p/q⟩| n = (p+q-1)(p+q-2)/2+p }
> ∀n ∈ ℕ, ∀p/q ∈ ℕ×ℕ:

Not all n ∈ ℕ but only those which enumerate matrix olaces not occupied by Os.

> It is a radically pointless goal which
> you are pursuing.

It is radically pointless to believe that the matrix

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
...

could be covered by the elements of the first column.

Regards, WM

Dieter Heidorn schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 21:19:20 UTC+2:

> Er nimmt die Formulierung "Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander
> abbilden" offensichtlich wörtlich: Man muss nacheinander
> jedes Paar einer Bijektion konstruieren.

Man *kann* jedes Paar konstruieren. Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Bist Du gegenteiliger Meinung?
>
Regards, WM

It happens that WM formulated :
> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 18:02:11 UTC+2:
>
>> 2. A bijection is not a process.
>
> Every pair of a bijection with |N can be counted to.

Yes, because it is a finite set.

> This is a process.

A demonstration might require a process so that it can be understood by
most people, but the fact of a bijection does not require a process.

WM expressed precisely :
> Jim Burns schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 18:05:19 UTC+2:
>> On 10/22/2023 5:52 AM, WM wrote:
>
>>> A bijection with ℕ is counting.
>> A bijection B of set A with ℕ
>> is a set B ⊆ ℕ×A of pairs ⟨n,x⟩ for
>> each n ∈ ℕ and each x ∈ A
>> one match each in B and no others
>
> Every pair can be counte to.
>
>> _Whatever you call a bijection_
>> can't change that:
>> for B = {⟨n,p/q⟩| n = (p+q-1)(p+q-2)/2+p }
>> ∀n ∈ ℕ, ∀p/q ∈ ℕ×ℕ:
>
> Not all n ∈ ℕ but only those which enumerate matrix olaces not occupied by
> Os.
>
>> It is a radically pointless goal which
>> you are pursuing.
>
> It is radically pointless to believe that the matrix
>
> 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
> 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
> 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> 4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
> ...
>
> could be covered by the elements of the first column.

Why, do you suppose that there aren't enough of them?

WM schrieb:
> Dieter Heidorn schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 21:19:20 UTC+2:
>
>> Er nimmt die Formulierung "Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander
>> abbilden" offensichtlich wörtlich: Man muss nacheinander
>> jedes Paar einer Bijektion konstruieren.
>
> Man *kann* jedes Paar konstruieren. Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Bist Du gegenteiliger Meinung?

Selbstverständlich. Darum hatte ich ja Cantor zitiert:

|"[Es] wird bewiesen, daß äquivalente Mengen immer eine und dieselbe
| Mächtigkeit oder Kardinalzahl haben und daß auch umgekehrt Mengen
| von derselben Kardinalzahl äquivalent sind. [...]
| Die Kenntnis nur eines /Zuordnungsgesetzes/ für zwei Mengen M und M_1
| /genügt/, um die Äquivalenz derselben zu konstatieren; doch gibt es
| immer viele, im allgemeinen sogar unzählig viele Zuordnungsgesetze,
| durch welche zwei äquivalente in gegenseitig eindeutige und
| vollständige Beziehung zueinander gebracht werden können."
(Cantor: Gesammelte Abhandlungen, S.413)

Dieter Heidorn

FromTheRafters schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 16:01:50 UTC+2:
> WM expressed precisely :

> > It is radically pointless to believe that the matrix
> >
> > 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
> > 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
> > 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> > 4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> > 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
> > ...
> >
> > could be covered by the elements of the first column.
> Why, do you suppose that there aren't enough of them?

Because otherwise the whole matrix would have been covered by them already. Geometry of measure!

Regards, WM

Dieter Heidorn schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 16:03:13 UTC+2:
> WM schrieb:
> > Dieter Heidorn schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 21:19:20 UTC+2:
> >
> >> Er nimmt die Formulierung "Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander
> >> abbilden" offensichtlich wörtlich: Man muss nacheinander
> >> jedes Paar einer Bijektion konstruieren.
> >
> > Man *kann* jedes Paar konstruieren. Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Bist Du gegenteiliger Meinung?
> Selbstverständlich.

O, Du proklamierst dunkle Zahlen. Das hätte ich nicht erwartet.

> Darum hatte ich ja Cantor zitiert:
> |"[Es] wird bewiesen, daß äquivalente Mengen immer eine und dieselbe
> | Mächtigkeit oder Kardinalzahl haben und daß auch umgekehrt Mengen
> | von derselben Kardinalzahl äquivalent sind. [...]
> | Die Kenntnis nur eines /Zuordnungsgesetzes/ für zwei Mengen M und M_1
> | /genügt/, um die Äquivalenz derselben zu konstatieren; doch gibt es
> | immer viele, im allgemeinen sogar unzählig viele Zuordnungsgesetze,
> | durch welche zwei äquivalente in gegenseitig eindeutige und
> | vollständige Beziehung zueinander gebracht werden können."
> (Cantor: Gesammelte Abhandlungen, S.413)

Viele Zuordnungsgesetze sagen nichts über unkonstruierbare Paare. Cantor ist nicht Deiner Meinung. "Werden nun die Zahlen p/q in einer solchen Reihenfolge gedacht, [...] so kommt jede Zahl p/q an eine ganz bestimmte Stelle einer einfach unendlichen Reihe," [E. Zermelo: "Georg Cantor – Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer, Berlin (1932) S. 126] Natürlich kann man jede ganz bestimmte Stelle bestimmen. Sie ist ja schon bestimmt.

Gruß, WM

On 10/24/2023 7:56 AM, WM wrote:
> Jim Burns schrieb am Montag,
> 23. Oktober 2023 um 18:05:19 UTC+2:
>> On 10/22/2023 5:52 AM, WM wrote:

>>> A bijection with ℕ is counting.
>>
>> A bijection B of set A with ℕ
>> is a set B ⊆ ℕ×A of pairs ⟨n,x⟩ for
>> each n ∈ ℕ and each x ∈ A
>> one match each in B and no others
>
> Every pair can be counte to.

Each pair ⟨n,xₙ⟩ in
minimally-each-which-can-be-counted-to B
can be counted to.
Otherwise,
an even-more-minimal set of pairs exists.

Each procedure which counts to
a pair ⟨n,xₙ⟩ which-can-be-counted-to
has two ends: ⟨1,x₁⟩ and ⟨n,xₙ⟩

⟨1,x₁⟩ is one end in the set B

For each ⟨n,xₙ⟩ in B
there is a successor ⟨n+1,xₙ₊₁⟩ in B
For each ⟨n,xₙ⟩ in B
⟨n,xₙ⟩ is not the second end in B

B does not have two ends.
Procedures have two ends.

Thus,
B is not a procedure,
such as the procedure of counting to
a pair which-can-be-counted-to.

B is not a procedure, however,
counting to any ⟨n,xₙ⟩ in B
has two ends, and is a procedure.

>> _Whatever you call a bijection_
>> can't change that:
>> for B = {⟨n,p/q⟩| n = (p+q-1)(p+q-2)/2+p }
>> ∀n ∈ ℕ, ∀p/q ∈ ℕ×ℕ:
>> ∃⟨n,p/q⟩ ∈ B:
>> ¬∃⟨n,p′/q′⟩ ∈ B: p/q′ ≠ p/q ∧
>> ¬∃⟨n′,p/q⟩ ∈ B: n′ ≠ n

∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ A:
∃!!⟨n,x⟩ ∈ B:

∃!!⟨n,x⟩ ∈ B :⇔
∃⟨n,x⟩ ∈ B ∧
¬∃⟨n,x′⟩ ∈ B: x′ ≠ x ∧
¬∃⟨n′,x⟩ ∈ B: n′ ≠ n

> Not all n ∈ ℕ
> but only those which enumerate
> matrix [places] not occupied by Os.

ℕ is the minimally-each-accessible set.
ℕ₀ᣔ⤾⁺¹
ℕ = ⋂{S ⊆ ℕ| S₀ᣔ⤾⁺¹ }

S₀ᣔ⤾⁺¹ :⇔
S ∋ 0 ∧ ∀s ∈ S ∋ s⁺¹

Each place p/q in ℕ×ℕ
is enumerated by its own n in ℕ

∀n ∈ ℕ, ∀p/q ∈ ℕ×ℕ:
∃!!⟨n,p/q⟩ ∈ {⟨n,p/q⟩|n=(p+q-1)(p+q-2)/2+p}

n = (p+q-1)(p+q-2)/2+p
p+q = ⌈(((8⋅n+1)¹ᐟ²+1)/2)⌉

⌈x⌉-1 < x ≤ ⌈x⌉ ∈ ℕ

>> It is a radically pointless goal which
>> you are pursuing.
>
> It is radically pointless
> to believe that the matrix
>
> 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
> 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
> 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> 4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
> ...
>
> could be covered by
> the elements of the first column.

You reject arithmetic
n = (p+q-1)(p+q-2)/2+p
p+q = ⌈(((8⋅n+1)¹ᐟ²+1)/2)⌉
in order to save two-ended-ness.

We reject two-ended-ness
ℕ₀ᣔ⤾⁺¹
ℕ = ⋂{S ⊆ ℕ| S₀ᣔ⤾⁺¹ }
in order to save arithmetic.

I don't have a proof of this,
but it seems undeniable to me that
rejecting arithmetic
should be raised among the gods of
radically pointless activities.

It is probably also radically pointless
to keep telling you (WM) things which
you refuse to hear,
but
there are many much-more-harmful
radically-pointless activities in which
I could instead be engaged.

WM schrieb:
> Dieter Heidorn schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 16:03:13 UTC+2:
>> WM schrieb:
>>> Dieter Heidorn schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 21:19:20 UTC+2:
>>>
>>>> Er nimmt die Formulierung "Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander
>>>> abbilden" offensichtlich wörtlich: Man muss nacheinander
>>>> jedes Paar einer Bijektion konstruieren.
>>>
>>> Man *kann* jedes Paar konstruieren. Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Bist Du gegenteiliger Meinung?
>> Selbstverständlich.
>
> O, Du proklamierst dunkle Zahlen.

Selbstverständlich nicht. Ich "proklamiere" nur mathematisch existente
Objekte. Bijektionen haben - wie alle Funktionen - eine Definitionsmenge
und eine Wertemenge. Die Definition einer Bijektion zwischen zwei Mengen
stellt einen Zusammenhang zwischen zwei definierten Mengen her - und
dunkel ist daran nicht das Geringste.

>> Darum hatte ich ja Cantor zitiert:
>> |"[Es] wird bewiesen, daß äquivalente Mengen immer eine und dieselbe
>> | Mächtigkeit oder Kardinalzahl haben und daß auch umgekehrt Mengen
>> | von derselben Kardinalzahl äquivalent sind. [...]
>> | Die Kenntnis nur eines /Zuordnungsgesetzes/ für zwei Mengen M und M_1
>> | /genügt/, um die Äquivalenz derselben zu konstatieren; doch gibt es
>> | immer viele, im allgemeinen sogar unzählig viele Zuordnungsgesetze,
>> | durch welche zwei äquivalente in gegenseitig eindeutige und
>> | vollständige Beziehung zueinander gebracht werden können."
>> (Cantor: Gesammelte Abhandlungen, S.413)
>
> Viele Zuordnungsgesetze sagen nichts über unkonstruierbare Paare.

Die "Zuordnungsgesetze" sind Funktionen, und wie obigem Zitat zu
entnehmen ist, geht es dabei um Bijektionen. Sie besagen, auf welche
Weise Elemente der Definitionsmenge und der Wertemenge in Beziehung
gebracht werden.
Damit ist die "Konstruktion" aller Paare angegeben. Die Cantorsche
Paarungsfunktion ist ein Beispiel für eine solche Bijektion. Mit

f: ℕ×ℕ→ℕ , f(m,n) = m + (m + n - 1)*(m + n - 2) = k

sind alle Paare ((m,n),k) definiert.

> Cantor ist nicht Deiner Meinung.

Er ist es. Du verstehst es nur nicht, wie dein hilfloses Bruchstück-
Zitieren zeigt:

>"Werden nun die Zahlen p/q in einer solchen Reihenfolge gedacht, [...] so kommt jede Zahl p/q an eine ganz bestimmte Stelle einer einfach unendlichen Reihe," [E. Zermelo: "Georg Cantor – Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer, Berlin (1932) S. 126] Natürlich kann man jede ganz bestimmte Stelle bestimmen. Sie ist ja schon bestimmt.

Solche Zitatschnipsel besagen gar nichts. Dieser Satz steht in folgendem
Zusammenhang:

|"[Wir] gehen davon aus, daß die sämtlichen rationalen Zahlen, welche
| ≧ 0 und ≦ 1 sind, sich in der Form einer einfach unendlichen Reihe
| | φ_1, φ_2, φ_3, ..., φ_ν, ...
| | mit einem allgemeinen Gliede φ_ν schreiben lassen. Dies läßt sich am
| einfachsten wie folgt dartun: Ist p/q die /irreduktible/ Form für eine
| rationale Zahl, die ≧ 0 und ≦ 1 ist, wo also p und q ganze, nicht
| negative Zahlen mit dem größten gemeinschaftlichen Teiler 1 sind,
| so setze man p + q = N. Es gehört alsdann zu jeder Zahl p/q ein
| bestimmter ganzzahliger, positiver Wert von N, und umgekehrt gehört
| zu einem solchen Werte von N immer nur eine endliche Anzahl von Zahlen
| p/q. Werden nun die Zahlen p/q in einer solchen Reihenfolge gedacht,
| daß die zu kleineren Werten von N gehörigen denen vorangehen, für
| welche N einen größeren Wert hat, daß ferner die Zahlen p/q, für
| welche N einen und denselben Wert hat, ihrer Größe nach einander
| folgen, die größeren auf die kleineren, so kommt jede der Zahlen p/q
| an eine ganz bestimmte Stelle einer einfach unendlichen Reihe, deren
| allgemeines Glied mit φ_ν bezeichnet werde."

Also: Cantor betrachtet hier positive Brüche p/q mit den Eigenschaften

* p und q sind relativ prim,
* p/q ∈ [0,1]

und stellt eine Zuordnung her:

* p/q -> p + q = N .

die _nicht injektiv_ ist - und damit ist sie natürlich auch nicht
bijektiv.

Ein Zusammenhang mit der bijektiven Cantor-Funktion zur Abzählung der
Menge der positiven Brüche besteht nicht.

Dieter Heidorn

On 10/24/2023 7:52 AM, WM wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Montag,
> 23. Oktober 2023 um 18:02:11 UTC+2:

>> 2. A bijection is not a process.
>
> Every pair of a bijection with |N
> can be counted to.
> This is a process.

P is the set of steps sⱼ of a process.

Steps sₛ‖sₑ exist as start‖end of P
and,
for each split F ᣔ<ᣔ H of P
some sᵢ‖sᵢ₊₁ exist as end-of-F‖start-of-H

Define k to be a process-index
iff
index-sequence ⟨1,…,k⟩ exists such that
1‖k exist as the start‖end of ⟨1,…,k⟩
and,
for each split F ᣔ<ᣔ H of ⟨1,…,k⟩
some i‖i⁺¹ exist as end-of-F‖start-of-H

i⁺¹ is non-1 non-doppelgänger non-final

For each process-set P
a process-index k exists such that
a bijection-set B exists between ⟨1,…,k⟩ and P
∀P process:
∃k process-index:
∃B bijection-set:
∀i index ∈ ⟨1,…,k⟩, ∀s step ∈ P:
∃!!⟨i,s⟩ ∈ B

Each ⟨1,…,k⟩ has two ends 1‖k

The minimally-each-process-index set
has one end. It is not any ⟨1,…,k⟩

(doubly unique)
∃!!⟨i,s⟩ ∈ B :<->
∃⟨i,s⟩ ∈ B ∧
¬∃⟨i,s′⟩ ∈ B: s′ ≠ s ∧
¬∃⟨i′,s⟩ ∈ B: i′ ≠ i

A bijection with |N, B. is a set
> Every pair of a bijection with |N can be counted to.
Indeed, every element of B can be "counted to".
B cannot be "counted to".

On Tuesday, October 24, 2023 at 1:52:19 PM UTC+2, WM wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 18:02:11 UTC+2:
> >
> > 2. A bijection is not a process.

A BIJECTION IS NOT A PROCESS.

> Every pair of a bijection with IN can be counted to. This [countin] is a process 8in each case].

YES, EVER PAIR OF A BIJECTION CAN BE COUNTED TO. THIS COUNTING IS A PROCESS (in each case).

BUT NO PAIR OF A BIJECTION IS THIS BICEKTION, THE BIJECTION CANNOT BE COUNTED TO.

MOREOVER: THE BIJECTION AS WELL AS EACH AND EVERE PAIR OF THE BIJECTION IS NOT E A PROCESS.

On Tuesday, October 24, 2023 at 1:52:19 PM UTC+2, WM wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 18:02:11 UTC+2:
> >
> > 2. A bijection is not a process.

A BIJECTION IS NOT A PROCESS.

> Every pair of a bijection with IN can be counted to. This [counting] is a process [in each case].

YES, EVER PAIR OF A BIJECTION CAN BE COUNTED TO. THIS COUNTING IS A PROCESS (in each case).

BUT NO PAIR OF A BIJECTION IS THIS BICEKTION, THE BIJECTION CANNOT BE COUNTED TO.

MOREOVER: THE BIJECTION AS WELL AS EACH AND EVERE PAIR OF THE BIJECTION IS NOT E A PROCESS.

On Tuesday, October 24, 2023 at 1:52:19 PM UTC+2, WM wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 18:02:11 UTC+2:
> >
> > 2. A bijection is not a process.

A BIJECTION IS NOT A PROCESS.

> Every pair of a bijection with IN can be counted to. This [counting] is a process [in each case].

YES, EVER PAIR OF A BIJECTION CAN BE COUNTED TO. THIS COUNTING IS A PROCESS (in each case).

BUT NO PAIR OF A BIJECTION IS THIS BIJECTION, _THE BIJECTION CANNOT BE COUNTED TO_.

*MOREOVER*: THE BIJECTION AS WELL AS EACH AND EVERE PAIR OF THE BIJECTION IS NOT A PROCESS.

On Tuesday, October 24, 2023 at 1:52:19 PM UTC+2, WM wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 18:02:11 UTC+2:
> >
> > 2. A bijection is not a process.

A BIJECTION IS NOT A PROCESS.

> Every pair of a bijection with IN can be counted to. This [counting] is a process [in each case].

YES, EVER PAIR OF A BIJECTION CAN BE COUNTED TO. THIS COUNTING IS A PROCESS (in each case).

BUT NO PAIR OF A BIJECTION IS THIS BIJECTION, _THE BIJECTION CANNOT BE COUNTED TO_.

*MOREOVER*: THE BIJECTION AS WELL AS EACH AND EVERY PAIR OF THE BIJECTION IS NOT A PROCESS.

William schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 20:13:54 UTC+2:
> A bijection with |N, B. is a set
> > Every pair of a bijection with |N can be counted to.
> Indeed, every element of B can be "counted to".
> B cannot be "counted to".

B is countable when "every element of the set stands at a definite position of this sequence" [Cantor]. B cannot be counted to (because it is nothing more than its elements), only all elements can be counted to. Every O were removed from the matrix if all fractions could be indeXed. Of course the matrix itself does not require an index.

Regards, WM

Jim Burns schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 17:47:27 UTC+2:

> B does not have two ends.
> Procedures have two ends.

No. The procedure accomplishes, according to Cantor, "that every element of the set stands at a definite position of this sequence".
>
> B is not a procedure, however,
> counting to any ⟨n,xₙ⟩ in B
> has two ends, and is a procedure.

Not according to Cantor: "such that every element of the set stands at a definite position of this sequence".

Regards, WM

Dieter Heidorn schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 17:49:00 UTC+2:
> WM schrieb:
>
> >>> Man *kann* jedes Paar konstruieren. Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Bist Du gegenteiliger Meinung?
> >> Selbstverständlich.
> >
> > O, Du proklamierst dunkle Zahlen.
> Selbstverständlich nicht. Ich "proklamiere" nur mathematisch existente
> Objekte.
Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Mathematisch existente
Objekte, hier also Paare, können konstruiert werden. "such that every element of the set stands at a definite position of this sequence".

> Bijektionen haben - wie alle Funktionen - eine Definitionsmenge
> und eine Wertemenge. Die Definition einer Bijektion zwischen zwei Mengen
> stellt einen Zusammenhang zwischen zwei definierten Mengen her - und
> dunkel ist daran nicht das Geringste.

Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Das hast Du abgelehnt.

> Damit ist die "Konstruktion" aller Paare angegeben. Die Cantorsche
> Paarungsfunktion ist ein Beispiel für eine solche Bijektion.

Und die führe ich aus, so dass alle O in der Matrix bleiben. Damit ist die Existenz nicht nummerierbarer Felder und damit auch die Unvollständigkeit von Cantors "Bijektion" gezeigt.

> >"Werden nun die Zahlen p/q in einer solchen Reihenfolge gedacht, [...] so kommt jede Zahl p/q an eine ganz bestimmte Stelle einer einfach unendlichen Reihe," [E. Zermelo: "Georg Cantor – Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer, Berlin (1932) S. 126] Natürlich kann man jede ganz bestimmte Stelle bestimmen. Sie ist ja schon bestimmt.
> Solche Zitatschnipsel besagen gar nichts.

Sie besagen, dass Du falsch liegst.

> Dieser Satz steht in folgendem
> Zusammenhang:
>
> * p/q -> p + q = N .
>
> die _nicht injektiv_ ist - und damit ist sie natürlich auch nicht
> bijektiv.
>
> Ein Zusammenhang mit der bijektiven Cantor-Funktion zur Abzählung der
> Menge der positiven Brüche besteht nicht.

Er besteht natürlich, nämlich in der Vollständigkeit. Aber wenn Du das nicht verstehst, dann zeige ich Dir dies: "The infinite sequence thus defined has the peculiar property to contain the positive rational numbers completely, and each of them only once at a determined place." [G. Cantor, letter to R. Lipschitz (19 Nov 1883)]

Gruß, WM

Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 21:26:05 UTC+2:
> On Tuesday, October 24, 2023 at 1:52:19 PM UTC+2, WM wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 18:02:11 UTC+2:
> > >
> > > 2. A bijection is not a process.
> A BIJECTION IS NOT A PROCESS.

A bijection with |N can be executed as a process. "The infinite sequence thus defined has the peculiar property to contain the positive rational numbers completely, and each of them only once at a determined place." [G. Cantor, letter to R. Lipschitz (19 Nov 1883)]
>
> > Every pair of a bijection with IN can be counted to. This [counting] is a process [in each case].
>
> YES, EVER PAIR OF A BIJECTION CAN BE COUNTED TO. THIS COUNTING IS A PROCESS (in each case).
>
> BUT NO PAIR OF A BIJECTION IS THIS BIJECTION, _THE BIJECTION CANNOT BE COUNTED TO_.

Irrelevant. We count to every place of the matrix, we do not count to the matrix.
>
> *MOREOVER*: THE BIJECTION AS WELL AS EACH AND EVERY PAIR OF THE BIJECTION IS NOT A PROCESS.

Each and every pair is: "The infinite sequence thus defined has the peculiar property to contain the positive rational numbers completely, and each of them only once at a determined place." [G. Cantor, letter to R. Lipschitz (19 Nov 1883)]

The matrix does not require an index.

Regards, WM

On Wednesday, October 25, 2023 at 12:45:10 PM UTC+2, WM wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 21:26:05 UTC+2:
> >
> > A BIJECTION IS NOT A PROCESS.
> >
> A bijection with IN can be executed as a process.

*** A BIJECTION IS NOT A PROCESS. ***

> > > Every pair of a bijection with IN can be counted to. This [counting] is a process [in each case].
> > >
> > YES, EVER PAIR OF A BIJECTION CAN BE COUNTED TO. THIS COUNTING IS A PROCESS (in each case).
> >
> > BUT NO PAIR OF A BIJECTION IS THIS BIJECTION, _THE BIJECTION CANNOT BE COUNTED TO:_.
> >
> > *MOREOVER*: THE BIJECTION AS WELL AS EACH AND EVERY PAIR OF THE BIJECTION IS NOT A PROCESS.
> >>
> Each and every pair is

Nonsense.

*** A PAIR IS NOT A PROCESS. ***

(but a certain set).

On Wednesday, October 25, 2023 at 6:57:34 AM UTC-3, WM wrote:
> William schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 20:13:54 UTC+2:
> > A bijection with |N, B. is a set
> > > Every pair of a bijection with |N can be counted to.
> > Indeed, every element of B can be "counted to".
> > B cannot be "counted to".
> B is countable

So What? B cannot be "counted to"