William schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 20:24:31 UTC+2:
> On Thursday, October 26, 2023 at 1:52:57 PM UTC-3, WM wrote:
> > William schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 18:37:09 UTC+2:
> > > On Thursday, October 26, 2023 at 1:21:23 PM UTC-3, WM wrote:
> > > > The O indicate not paired fractions and remain in all possible steps
> > > Correct, you cannot get B using steps (you cannot "count to B"). This does not mean B does not exist.
> > B, the matrix
> > 1, 2, 4, ...
> > 3, 5, 8, ...
> > 6, 9,13, ...
> > ...
> > containing only natural numbers does exist.
> Correct, a bijection between |N and |N x |N exists.

The matrix exists but it is not the result of enumerating the fractions. See the OP.

Regards, WM

On Friday, October 27, 2023 at 12:10:55 PM UTC+2, WM wrote:
> Dieter Heidorn schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 21:41:56 UTC+2:
> > WM schrieb:
> > >
> > > Hier geht es nur um eine einzige, nämlich diese:
> > > k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m.
> > >
> > Ja, das ist die bijektive Cantorsche Paarungsfunktion f, die jedem Paar
> > (m,n) ∈ ℕ×ℕ eine eindeutige natürliche Zahl k ∈ ℕ zuordnet.
> >
> That is wrong as the OP clearly proves.

Nein, das ist NICHT wrong, Du dämlicher Spinner.

https://en.wikipedia.org/wiki/Pairing_function

On Friday, October 27, 2023 at 7:21:32 AM UTC-3, WM wrote:
> William schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 20:24:31 UTC+2:
> > On Thursday, October 26, 2023 at 1:52:57 PM UTC-3, WM wrote:
> > > William schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 18:37:09 UTC+2:
> > > > On Thursday, October 26, 2023 at 1:21:23 PM UTC-3, WM wrote:
> > > > > The O indicate not paired fractions and remain in all possible steps
> > > > Correct, you cannot get B using steps (you cannot "count to B"). This does not mean B does not exist.
> > > B, the matrix
> > > 1, 2, 4, ...
> > > 3, 5, 8, ...
> > > 6, 9,13, ...
> > > ...
> > > containing only natural numbers does exist.
> > Correct, a bijection between |N and |N x |N exists.
> The matrix exists
thus the bijection exists. If the bijection exists then an enumeration of the fractions exists.

> but it is not the result of enumerating the fractions. See the OP.

The fact that you show a method that does not produce an enumeration does not mean an enumeration does not exist.

On 10/26/2023 12:12 PM, WM wrote:
> Jim Burns schrieb am Mittwoch,
> 25. Oktober 2023 um 17:06:55 UTC+2:

>> According to arithmetic,
>> there aren't two ends.
>
> That's why arithmetic is incompatible
> with actual infinity.

Your actual-infinityᵂᴹ requires
ineffably-self-equal things.

> Arithmetic is compatible with constructivism:
>
> "(1) Start with I.
> (2) When x is reached, add I.
> [...]
> These rules supply a constructive definition
> of numbers
> (namely their scheme of construction).
> Now we can immediately say that
> according to these rules
> infinitely many numbers are possible.
> One has to be aware of the fact that
> here only the possibility is asserted –
> and this is secured by the rule itself."
> [Paul Lorenzen:
> "Das Aktual-Unendliche in der Mathematik",
> Philosophia naturalis 4 (1957) 3-11]

All of what [Lorenzen 1957] says here
is compatible with what I have been saying.

(1ᴶᴮ) Describe one of infinitely-many
-- true of each of infinitely-many.

(2ᴶᴮ) Augment (1ᴶᴮ) with only
not-first-false claims
-- true of each described by (1ᴶᴮ)
because, in a finite sequence,
if any one satisfies a condition,
then some one satisfies the condition first.

Without a proof that what's described exists,
we proceed after assuming it is.
If it isn't, the claims are still true, but
in an uninteresting way: true of nothing.
If it is, again, true of each described,
because finite sequence.

A mathematical construction is a proof
that whatever-it-is exists.
There is (1ᴶᴮ) _something else_ which we
already know or assume exists, which is
(2ᴶᴮ) augmented by finitely-many
not-first-false claims, including eventually
the not-first-false "Whatever-it-is exists".

A _mathematical_ construction
-- even of infinitely-many --
is a finite sequence of (1ᴶᴮ) descriptive and
(2ᴶᴮ) not-first-false claims,
and
is not _itself_ infinite.

"Construction" _sounds like_ mortaring
infinitely-many bricks into a wall,
something Chuck Norris might do.
It's not that.
It's better seen as
how we know an infinite wall exists.

----
I would add (3) to (1) and (2) for
the description of numbers:
| (3) The minimal set obeying (1) and (2)
| is the set of all and only the numbers.

(3) makes the description definite.
It can be asserted as a necessity that
there is no more than one such set.

Caveat lector.
I haven't read anything reliable about
what "actual" v. "potential" really are.

It seems reasonable to me to identify
"actual" (not "actualᵂᴹ") with "definite".

Arithmetic is incompatible with
ineffably-self-equal-itarian
actual-infinityᵂᴹ but
arithmetic is compatible with
definite actual-infinityᴶᴮ

On Friday, October 27, 2023 at 3:13:52 AM UTC-7, WM wrote:
> FredJeffries schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 19:08:03 UTC+2:
> > On Thursday, October 26, 2023 at 9:12:29 AM UTC-7, WM wrote:
> > > Jim Burns schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 17:06:55 UTC+2:
>
> > > > And there aren't two ends.
> > > Then all O remain forever in the matrix.
> >
> > That is correct
>
> Of course. They indicate not indexed fractions.

And THAT is just gibberish.

EOD

WM schrieb:
> Dieter Heidorn schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 21:41:56 UTC+2:
>> WM schrieb:
>
>>> Hier geht es nur um eine einzige, nämlich diese:
>>> k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m.
>> Ja, das ist die bijektive Cantorsche Paarungsfunktion f, die jedem Paar
>> (m,n)∈ℕ×ℕ eine eindeutige natürliche Zahl k∈ℕ zuordnet.
>
> That is wrong as the OP clearly proves.

No, it's not wrong, and the OP talks rubbish.

Cantor writes:

|"Es hat nämlich die Funktion µ + ((µ + ν - 1)(µ + ν - 2))/2, wie
| leicht zu zeigen, die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie alle
| positiven ganzen Zahlen und jede nur einmal darstellt, wenn in ihr µ
| und ν unabhängig voneinander ebenfalls jeden positiven, ganzzahligen
| Wert erhalten."
(Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen, S.132)

In der heute üblichen Schreibweise:

f: ℕ×ℕ → ℕ , (m,n) ↦ m + (m + n - 1)(m + n - 2)/2 ,

also f(m,n) = m + (m + n - 1)(m + n - 2)/2 = k.

Weitere Informationen kannst du hier finden:

https://de.wikipedia.org/wiki/Cantorsche_Paarungsfunktion

https://en.wikipedia.org/wiki/Pairing_function

>>> Entweder bist Du unfähig einzusehen, dass ich genau Cantors Vorschrift befolge,
>> Jeder mit ein wenig Kenntnis der Materie kann einsehen, dass du etwas
>> veranstaltest, was mit Cantors Paarungsfunktion nichts zu tun hat.
>
> Sobald Du eine Abweichung namhaft machst, werde ich sie erkennen.

Jede deiner Matrizen weicht von Cantors Funktion f ab, denn f gibt eine
bijektive Zuordnung der Elemente der Definitionsmenge ℕ×ℕ zu den
Elementen der Wertemenge ℕ an. Das bedeutet:
_In der Wertemenge von Cantors Funktion sind keine Brüche enthalten_.
Bei dir enthält jede Matrix aber alle Brüche, die du nur verschieben und
austauschen willst. Deine Matrizen veranschaulichen also nicht
schrittweise die Wertemenge von f. Somit stellt dein Gestümper nicht die
Cantorsche Zuordnung zwischen ℕ×ℕ und ℕ dar. So einfach ist das.

> Hier ist der zweite [Schritt], denn der erste reproduziert die Ausgangslage:
>
> 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
> 2, 2/2, 2/3, 2/4, ...
> 3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> 4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> 5, 5/2, 5/3, 5/4, ...
> ...

Das ist die Definitionsmenge von f, wobei die Paare (m,n) als Brüche m/n
aufgefasst werden, und die Elemente der ersten Spalte kannst du auch als
Brüche schreiben:

1 2 3 3 5 n
|---|----|----|----|----|------
|
1- 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ...
|
2- 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
|
3- 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
|
4- 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
|
5- 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
|
| ...
|
m

Wenn du Cantors bijektive Zuordnung schrittweise veranschaulichen
willst, dann sieht das so aus:

Erster Schritt:

Das Element "1/1" der Definitionsmenge wird dem Wert "1" der Wertemenge
von f zugeordnet - d.h. 1/1 wird in der Darstellung durch 1 _ersetzt_
und _ist in der Matrix nicht mehr enthalten_:

1 2 3 3 5 n
|---|----|----|----|----|------
|
1- 1 1/2 1/3 1/4 1/5 ...
|
2- 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
|
3- 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
|
4- 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
|
5- 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
|
| ...
|
m

Zweiter Schritt:

Das Element "1/2" der Definitionsmenge wird dem Wert "2" der Wertemenge
von f zugeordnet - d.h. 1/2 wird in der Darstellung durch 2 _ersetzt_
und _ist in der Matrix nicht mehr enthalten_:

1 2 3 3 5 n
|---|----|----|----|----|------
|
1- 1 2 1/3 1/4 1/5 ...
|
2- 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
|
3- 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
|
4- 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
|
5- 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
|
| ...
|
m

Dritter Schritt:

Das Element "2/1" der Definitionsmenge wird dem Wert "3" der Wertemenge
von f zugeordnet - d.h. 2/1 wird in der Darstellung durch 3 _ersetzt_
und _ist in der Matrix nicht mehr enthalten_:

1 2 3 3 5 n
|---|----|----|----|----|------
|
1- 1 2 1/3 1/4 1/5 ...
|
2- 3 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
|
3- 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
|
4- 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
|
5- 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
|
| ...
|
m

So lässt sich schrittweise veranschaulichen, wie die Wertemenge von f
entsteht, dargestellt in einer Matrix. Welchem Paar der Wertemenge
ein Eintrag k in der Matrix zugeordnet ist, lässt sich ablesen:
Steht ein Wert k in Zeile m und Spalte n, dann nummeriert k das Paar
(m,n) und damit den Bruch m/n.

> 1, 2, 1/3, 1/4, ...
> 1/2, 2/2, 2/3, 2/4, ...
> 3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> 4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> 5, 5/2, 5/3, 5/4, ...
> ...
>
> Nach Cantor wird das Feld 1/2 mit 2 indiziert. Also völlige Übereinstimmung.

Nein, denn "nach Cantor" wird das Feld "1/2" mit "2" _überdeckt_.
1/2 ist damit nicht mehr in der Matrix enthalten. Anhand der - von dir
weggelassenen - m- und n-Achsen ist aber immer zu erkennen, welches
Matrixelement (m,n), d.h. welcher Bruch m/n mit der an der Stelle (m,n)
eingetragenen natürlichen Zahl k nummeriert wird.
Bei dir bleiben die Brüche in der Matrix erhalten, und damit liegt
_bei dir_ eben _keine Übereinstimmung mit Cantor_ vor.
*Das* ist dein Problem - und nicht, dass man nicht alle k∈ℕ an die
zugehörigen Stellen (m,n) setzen kann.

Zur Ergänzung:

In dsm hatte ich Jens Kallup das unter Verwendung des Graphen von f so
veranschaulicht:

---------------------------------------------------------------------------

Wenn man eine zeichnerische Darstellung der Cantor-Funktion herstellen
will, muss man bedenken, dass sie ja von zwei Variablen abhängt: f(m,n).
Man muss für eine Zeichnung daher ein kartesisches Koordinatensystem mit
m-, n- und k-Achse verwenden.
In diesem Koordinatensystem kann man nun in der m-n-Ebene Punkte (m,n)
der Definitionsmenge von f markieren. Von einem Punkt (m,n) geht man
dann parallel zur k-Achse so weit nach oben, wie der Funktionswert
k = f(m,n) angibt. Den erreichten Punkt (m,n,k) markiert man dann.

Eine mit Maxima erzeugte Darstellung kannst du hier finden:

https://ibb.co/3kWQvh5

Die Darstellungen mit einer Matrix in der Ebene können zweierlei
zeigen:

1) Man trägt in einer Matrix M(m,n) die Brüche ein, denen eine
natürliche Zahl zugeordnet werden soll:

1 2 3 4 5 m
|---|----|----|----|----|--------
|
1- 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ...
|
2- 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
|
3- 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ... M(m,n)
|
4- 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
|
5- 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
|
| ...
|
n

Das ist dann eine Darstellung eines kleinen Ausschnittes der
_Definitionsmenge_ der Cantor-Funktion, wobei man die Paare (m,n)
wie oben beschrieben als positive Brüche m/n aufgefasst hat.

2) Man trägt in einer Matrix L(m,n) die den Paaren (m,n) und damit
den Brüchen m/n zugeordneten natürlichen Zahlen ein:

1 2 3 4 5 m
|---|----|----|----|----|--------
|
1- 1 2 4 7 11 ...
|
2- 3 5 8 12 17 ...
|
3- 6 9 13 18 24 ... L(m,n)
|
4- 10 14 19 25 32 ...
|
5- 15 20 26 33 41 ...
|
| ...
|
n

Das ist dann eine Darstellung der Cantor-Funktion, die man sich so
entstanden vorstellen kann: Man lässt die Punkte (m,n,k) des 3d-
Graphen parallel zur k-Achse auf die m-n-Ebene herunter und trägt an
dem jeweiligen Punkt (m,n) in m-n-Ebene den zu diesem Paar gehörenden
Funktionswert k ein.
Es ist also eine Art Darstellung eines kleinen Ausschnittes der
_Wertemenge_ der Cantor-Funktion, projiziert in die m-n-Ebene.

---------------------------------------------------------------------------

So einfach ist das. Deine Schiebereien und Austauschereien dagegen haben
nach wie vor nichts mit der Cantorschen Paarungsfunktion zu tun.

William hat dein Vorgehen sehr treffend bewertet:

|"If the bijection exists then an enumeration of the fractions exists.
| The fact that you show a method that does not produce an enumeration
| does not mean an enumeration does not exist."
(William, sci.math, 27.10.23, 14:57 MESZ)

Dieter Heidorn

FredJeffries schrieb am Freitag, 27. Oktober 2023 um 19:17:06 UTC+2:
> On Friday, October 27, 2023 at 3:13:52 AM UTC-7, WM wrote:
> > FredJeffries schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 19:08:03 UTC+2:
> > > On Thursday, October 26, 2023 at 9:12:29 AM UTC-7, WM wrote:
> > > > Jim Burns schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 17:06:55 UTC+2:
> >
> > > > > And there aren't two ends.
> > > > Then all O remain forever in the matrix.
> > >
> > > That is correct
> >
> > Of course. They indicate not indexed fractions.
> And THAT is just gibberish.

No, it is fact in
XOOO... XXOO... XXOO... XXXO... ... XXXX...
XOOO... OOOO... XOOO... XOOO... ... XXXX...
XOOO... XOOO... OOOO... OOOO... ... XXXX...
XOOO... XOOO... XOOO... OOOO... ... XXXX...
................................................................................
but in the OP we need not even O. Counting matrix positions, all fractions remain at uncounted matrix positions.

Regards, WM

Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 27. Oktober 2023 um 13:41:36 UTC+2:
> On Friday, October 27, 2023 at 12:10:55 PM UTC+2, WM wrote:
> > Dieter Heidorn schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 21:41:56 UTC+2:
> > > WM schrieb:
> > > >
> > > > Hier geht es nur um eine einzige, nämlich diese:
> > > > k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m.
> > > >
> > > Ja, das ist die bijektive Cantorsche Paarungsfunktion f, die jedem Paar
> > > (m,n) ∈ ℕ×ℕ eine eindeutige natürliche Zahl k ∈ ℕ zuordnet.
> > >
> > That is wrong as the OP clearly proves.
> Nein, das ist NICHT wrong,

Fact is, as shown in the OP: Counting matrix positions, all fractions remain at uncounted matrix positions. Forever.

Regards, WM

William schrieb am Freitag, 27. Oktober 2023 um 14:57:14 UTC+2:
> On Friday, October 27, 2023 at 7:21:32 AM UTC-3, WM wrote:
> > William schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 20:24:31 UTC+2:
> > > On Thursday, October 26, 2023 at 1:52:57 PM UTC-3, WM wrote:
> > > > William schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 18:37:09 UTC+2:
> > > > > On Thursday, October 26, 2023 at 1:21:23 PM UTC-3, WM wrote:
> > > > > > The O indicate not paired fractions and remain in all possible steps
> > > > > Correct, you cannot get B using steps (you cannot "count to B"). This does not mean B does not exist.
> > > > B, the matrix
> > > > 1, 2, 4, ...
> > > > 3, 5, 8, ...
> > > > 6, 9,13, ...
> > > > ...
> > > > containing only natural numbers does exist.
> > > Correct, a bijection between |N and |N x |N exists.
> > The matrix exists
> thus the bijection exists.

Of course a bijection between B and B exists. But B is much smaller than A:
1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5, 5/2, 5/3, 5/4, ...
....

> If the bijection exists then an enumeration of the fractions exists.

Wrong. Counting matrix positions as in the OP, all fractions remain at uncounted matrix positions.

> The fact that you show a method that does not produce an enumeration does not mean an enumeration does not exist.

I use precisely Cantor's method: k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m. No-one can find any deviation. I only show what he has forgotten, namely to index also the positions where the indices come from.

Glad that you recognize that Cantor's method fails.

Regards, WM

Jim Burns schrieb am Freitag, 27. Oktober 2023 um 16:55:18 UTC+2:
> On 10/26/2023 12:12 PM, WM wrote:
> > Jim Burns schrieb am Mittwoch,
> > 25. Oktober 2023 um 17:06:55 UTC+2:
> >> According to arithmetic,
> >> there aren't two ends.
> >
> > That's why arithmetic is incompatible
> > with actual infinity.
> Your actual-infinityᵂᴹ requires
> ineffably-self-equal things.
> > Arithmetic is compatible with constructivism:
> >
> > "(1) Start with I.
> > (2) When x is reached, add I.
> > [...]
> > These rules supply a constructive definition
> > of numbers
> > (namely their scheme of construction).
> > Now we can immediately say that
> > according to these rules
> > infinitely many numbers are possible.
> > One has to be aware of the fact that
> > here only the possibility is asserted –
> > and this is secured by the rule itself."
> > [Paul Lorenzen:
> > "Das Aktual-Unendliche in der Mathematik",
> > Philosophia naturalis 4 (1957) 3-11]
> All of what [Lorenzen 1957] says here
> is compatible with what I have been saying.

No, it is incompatible with actual infinity, with counting all fractions, and with the diagonal of a list enumerated by all natnumbers. There is no "all" of infinite sets. Lorenzen produces the visible numbers only.

Regards, WM

Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 27. Oktober 2023 um 21:41:59 UTC+2:
> WM schrieb:
> > Dieter Heidorn schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 21:41:56 UTC+2:
> >> WM schrieb:
> >
> >>> Hier geht es nur um eine einzige, nämlich diese:
> >>> k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m.
> >> Ja, das ist die bijektive Cantorsche Paarungsfunktion f, die jedem Paar
> >> (m,n)∈ℕ×ℕ eine eindeutige natürliche Zahl k∈ℕ zuordnet.
> >
> > That is wrong as the OP clearly proves.
> No, it's not wrong, and the OP talks rubbish.

Please find any deviation from Cantor's rule
k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m.
>
> > Hier ist der zweite [Schritt], denn der erste reproduziert die Ausgangslage:
> >
> > 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
> > 2, 2/2, 2/3, 2/4, ...
> > 3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> > 4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> > 5, 5/2, 5/3, 5/4, ...
> > ...
> Das ist die Definitionsmenge von f,

Es ist ebenfalls die Bildmenge, denn jeder Platz der Matrix muss indiziert werden.

> Das Element "1/2" der Definitionsmenge wird dem Wert "2" der Wertemenge
> von f zugeordnet - d.h. 1/2 wird in der Darstellung durch 2 _ersetzt_

Richtig.

> und _ist in der Matrix nicht mehr enthalten_:

Falsch!

Der Platz, von dem die 2 kommt, ist nun nicht mehr indiziert. Das kennzeichnen wir durch den temporären Aufenthalt des Bruchs 1/2 auf diesem Platz. Natürlich wird dieser Platz später indiziert. Aber womit? Du möchtest also darauf verzichten, die Indizes aus der ersten Spalte zu verwenden. Warum? Glaubst Du, dass dort weniger vorhanden sind als in der Menge der Indizes, die Du verwendest? Das führt zum Betrug.

Weitere Betrugsversuche gelöscht.

> > Nach Cantor wird das Feld 1/2 mit 2 indiziert. Also völlige Übereinstimmung.
> Nein, denn "nach Cantor" wird das Feld "1/2" mit "2" _überdeckt_.
> 1/2 ist damit nicht mehr in der Matrix enthalten.

Das Feld wird überdeckt, aber das Feld 2 ist nicht mehr überdeckt.. Dort steht nämlich nun der ursprüngliche Bewohner 1/2.

Und der wird niemals auf einem Feld rasten, das indiziert worden ist.

Also ist es jetzt ganz klar erkennbar: Du weigerst Dich, alle natürlichen Zahlen in der ersten Spalte zu erkennen und diese zu verwenden. Du möchtest eine größere Menge verwenden. Die gibt es aber nicht. Die von Dir verwendeten sind dieselben. Nur merkst Du es nicht. Oder Du möchtest bewusst betrügen.

Gruß, WM

Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 27. Oktober 2023 um 21:41:59 UTC+2:

Vorschlag zur Güte: Du möchtest ja die Indizes von außerhalb der Matrix nehmen. Kannst Du sie erstmal mit den Brüchen der ersten Spalte paaren und dann weiter verarbeiten? Oder wären sie dann schon für alle weiteren Einsätze verdorben?

Gruß, WM

On 10/19/2023 6:04 AM, WM wrote:
> 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
> 2, 2/2, 2/3, 2/4, ...
> 3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> 4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> 5, 5/2, 5/3, 5/4, ...
>
> Push the natnumbers of the first column (without queue) into the field of fractions and store the hit fraction always there where the natnumber has come from. Try to push the natnumbers such that all matrix positions are occupied by them. That is best done by creating a pattern like
>
> 1, 2, 4, ...
> 3, 5, 8, ...
> 6, 9, 13, ...
> ... ,
>
> According to this simple rule it is impossible, in eternity, to remove a fraction from the matrix or to attach a natnumber to a fraction.

Let me attach a natural number to a fraction...

1 = 1/1
2 = 1/2
3 = 1/3
4 = 1/4
5 = 1/5
....

As for removing one, well, what do you mean? They are all there.

>
> You have won as soon as you understand that the last sentence is true.
>
> Congrats, WM

On 10/26/2023 2:40 PM, Jim Burns wrote:
> On 10/26/2023 4:37 PM, Chris M. Thomasson wrote:
>> On 10/26/2023 11:05 AM, FromTheRafters wrote:
>>> WM presented the following explanation :
>>>> FromTheRafters schrieb am Mittwoch,
>>>> 25. Oktober 2023 um 17:08:24 UTC+2:
>>>>> WM presented the following explanation :
>>>>>> Fritz Feldhase schrieb am Dienstag,
>>>>>> 24. Oktober 2023 um 21:26:05 UTC+2:
>>>>>>>> Fritz Feldhase schrieb am Montag,
>>>>>>>> 23. Oktober 2023 um 18:02:11 UTC+2:
>
>>>>>>>>> 2. A bijection is not a process.
>>>>>>>
>>>>>>> A BIJECTION IS NOT A PROCESS.
>>>>>>
>>>>>> A bijection with |N can be executed as a process.
>>>>
>>>> According to Cantor. Of course not in reality.
>>>>
>>>>> But that doesn't mean it *is* a process.
>>>>
>>>> A process is what can be executed as a process.
>>>
>>> Explain.
>>
>> WM:
>> I am a ultra hardcore finite type of person...
>> ;^o
>
> WM:
> I reject arithmetic
> in order to keep two-ended-ness.
>
>

WM, I cannot count to seven because I have not thought of it yet... Its
dark.

On Saturday, October 28, 2023 at 6:42:52 AM UTC-3, WM wrote:
..
> > If the bijection exists then an enumeration of the fractions exists.
> Wrong.

trivially true

> Counting matrix positions as in the OP, all fractions remain at uncounted matrix positions

Nonsense. There is no such thing as "uncounted matrix positions"

William schrieb am Samstag, 28. Oktober 2023 um 21:55:38 UTC+2:
> On Saturday, October 28, 2023 at 6:42:52 AM UTC-3, WM wrote:
>
> > Counting matrix positions as in the OP, all fractions remain at uncounted matrix positions
> Nonsense. There is no such thing as "uncounted matrix positions"

Where do the fractions remain? Note that they don't disappear "in the limit". With counting only the finite terms of the sequence are concerned, not any limit.

Reads, WM

WM schrieb:
> Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 27. Oktober 2023 um 21:41:59 UTC+2:
>> WM schrieb:
>>> Dieter Heidorn schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 21:41:56 UTC+2:
>>>> WM schrieb:
>>>
>>>>> Hier geht es nur um eine einzige, nämlich diese:
>>>>> k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m.
>>>> Ja, das ist die bijektive Cantorsche Paarungsfunktion f, die jedem Paar
>>>> (m,n)∈ℕ×ℕ eine eindeutige natürliche Zahl k∈ℕ zuordnet.
>>>
>>> That is wrong as the OP clearly proves.
>> No, it's not wrong, and the OP talks rubbish.
>

This can be seen by a simple look at the graph of the Cantor pairing
function

https://ibb.co/3kWQvh5 .

>>> Hier ist der zweite [Schritt], denn der erste reproduziert die Ausgangslage:
>>>
>>> 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
>>> 2, 2/2, 2/3, 2/4, ...
>>> 3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
>>> 4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
>>> 5, 5/2, 5/3, 5/4, ...
>>> ...
>> Das ist die Definitionsmenge von f,
>
> Es ist ebenfalls die Bildmenge,

Nein.
Die Bildmenge der Cantor-Funktion ist die Menge der natürlichen Zahlen.
Vollständig gekürzte positive Brüche sind keine natürlichen Zahlen - hat
sich das noch nicht bis Augsburg herumgesprochen? Die positiven Brüche
bilden die Definitionsmenge der Cantor-Funktion - und die stellst du in
der Ausgangsmatrix dar.

> denn jeder Platz der Matrix muss indiziert werden.

So ist es - und in obiger Darstellung ist dann der jeweils indizierte
Bruch mit der ihm zugewiesenen Nummer überschrieben und nicht mehr in
der Matrix enthalten.

>> Das Element "1/2" der Definitionsmenge wird dem Wert "2" der Wertemenge
>> von f zugeordnet - d.h. 1/2 wird in der Darstellung durch 2 _ersetzt_
>
> Richtig.
>
>> und _ist in der Matrix nicht mehr enthalten_:
>
> Falsch!

Ganz und gar nicht.

Die natürlichen Zahlen, mit denen die positiven Brüche nummeriert
werden, bilden die Wertemenge der Cantor-Funktion

f: ℕ×ℕ → ℕ , (m,n) ↦ m + (m + n - 1)(m + n - 2)/2 ,

f(m,n) = m + (m + n - 1)(m + n - 2)/2 = k.

Es werden die Plätze (m,n) in der Matrix, welche die Definitionsmenge
von f darstellt, mit diesen Funktionswerten k belegt und überschreiben
die in deiner Ausgangsdarstellung eingetragenen positiven Brüche.

Erster Schritt:
---------------
1/1 befindet sich an der Stelle (m,n) = (1,1). Also wird der Bruch 1/1
indiziert mit

f(1,1) = 1 + (1 + 1 - 1)(1 + 1 - 2)/2 = 1.

Das Element "1/1" der Definitionsmenge wird dem Wert "1" der Wertemenge
von f zugeordnet - d.h. 1/2 wird in der Darstellung durch 2 _ersetzt_
und _ist in der Matrix nicht mehr enthalten_:

1 2 3 3 5 n
|---|----|----|----|----|------
|
1- 1 1/2 1/3 1/4 1/5 ...
|
2- 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
|
3- 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
|
4- 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
|
5- 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
|
| ...
|
m

> Das kennzeichnen wir durch den temporären Aufenthalt des Bruchs 1/2 auf diesem Platz. Natürlich wird dieser Platz später indiziert. Aber womit?

Mit einer natürlichen Zahl - so wie alle Pare (m,n), die für die Brüche
m/n stehen. Welche zu wählen ist, wird mit der Cantor-Funktion bestimmt.

Zweiter Schritt:
-----------------
1/2 befindet sich an der Stelle (m,n) = (1,2). Also wird der Bruch 1/2
indiziert mit

f(1,2) = 1 + (1 + 2 - 1)(1 + 2 - 2)/2 = 2.

Das Element "1/2" der Definitionsmenge wird dem Wert "2" der Wertemenge
von f zugeordnet - d.h. 1/2 wird in der Darstellung durch 2 _ersetzt_
und _ist in der Matrix nicht mehr enthalten_:

1 2 3 3 5 n
|---|----|----|----|----|------
|
1- 1 2 1/3 1/4 1/5 ...
|
2- 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
|
3- 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
|
4- 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
|
5- 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
|
| ...
|
m

Dritter Schritt:
-----------------
2/1 befindet sich an der Stelle (m,n) = (2,1). Also wird der Bruch 2/1
indiziert mit

f(2,1) = 2 + (2 + 1 - 1)(2 + 1 - 2)/2 = 3.

Das Element "2/1" der Definitionsmenge wird dem Wert "3" der Wertemenge
von f zugeordnet - d.h. 2/1 wird in der Darstellung durch 3 _ersetzt_
und _ist in der Matrix nicht mehr enthalten_:

1 2 3 3 5 n
|---|----|----|----|----|------
|
1- 1 2 1/3 1/4 1/5 ...
|
2- 3 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
|
3- 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
|
4- 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
|
5- 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
|
| ...
|
m

usw.

> Du weigerst Dich, alle natürlichen Zahlen in der ersten Spalte zu erkennen

Keinesfalls. Es ist eine Trivialität, dass die positiven Brüche der Art
m/1 mit m∈ℕ die natürlichen Zahlen darstellen. Diese werden durch die
Cantor-Funktion ebenfalls indiziert: (m,1) |-> f(m,1) ; also:

m f(m,1) = m(m + 1)/2
----------------------------
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15
6 21

Die Brüche in der ersten Spalte werden also mit den Dreieckszahlen
indiziert. Das sieht dann nach einer Anzahl von weiteren Schritten so
aus:

1 2 3 4 5 n
|---|----|----|----|----|--------
|
1- 1 2 4 7 11 ...
|
2- 3 5 8 12 17 ...
|
3- 6 9 13 18 24 ...
|
4- 10 14 19 25 32 ...
|
5- 15 20 26 33 41 ...
|
| ...
|
m

Nebenbei: Die Menge der Dreieckszahlen

𝔻 = { d∈ℕ : d = n(n + 1)/2, n∈ℕ }

steht in Bijektion mit der Menge der natürlichen Zahlen, somit
sind die beiden Mengen gleichmächtig:

card(𝔻) = card(ℕ) .

Das bedeutet, dass alle Elemente der ersten Spalte, welche in der
Ausgangsmatrix die natürlichen Zahlen in der Form m/1 enthält,
vollständig mit den Dreieckszahlen indiziert werden können.

> und diese zu verwenden. Du möchtest eine größere Menge verwenden.

Nein. Zum Indizieren der positiven Brüche wird die Menge der natürlichen
Zahlen verwendet. Damit lassen sich alle Brüche indizieren, denn die
Cantor-Funktion ist eine _bijektive Abbildung_. Das bedeutet:
Sie besitzt eine _Umkehrfunktion_:

f^(-1): ℕ → ℕ×ℕ , k ↦ (m(k),n(k))

Dabei ergibt sich mit den Hilfsfunktionen
c(k) = Floor(sqrt(2*k) - 1/2),
d(c(k)) = 1/2*c(k)*(c(k) + 1)
für den durch k indizierten Bruch:
m(k) = k - d(c(k))
n(k) = c(k) - m(k) + 2

Du kannst also systematisch _alle natürlichen Zahlen verwenden_, um
fortlaufend _alle positiven Brüche zu indizieren_. Das zeigt, dass
_keine_ "größere Menge als ℕ" nötig ist, um die positiven Brüche zu
indizieren.

Du stellst dir nur laufend selbst ein Bein, da du folgendes nicht
beachtest:

* "Nach Cantor" wird ein Feld (m,n), in dem der Bruch m/n steht,
mit der natürlichen Zahl f(m,n) = k überschrieben.

* m/n ist damit nicht mehr in der Matrix enthalten.

* Anhand der - von dir weggelassenen - m- und n-Achsen ist aber immer zu
erkennen, welches Matrixelement (m,n), d.h. welcher Bruch m/n mit der
an der Stelle (m,n) eingetragenen natürlichen Zahl k nummeriert wird.

Bei dir bleiben die Brüche in der Matrix erhalten, und damit liegt
_bei dir_ eben _keine Übereinstimmung mit Cantor_ vor.

Da kannst du dich drehen und wenden so viel du willst, und noch so laut
"Betrug" schreien - Fakt ist und bleibt:
Deine Schiebereien und Tauschereien haben nichts mit Cantor zu tun, und
sie widerlegen auch nicht die Abzählung der positiven Brüche mit der
Cantor-Funktion.

Dieter Heidorn

WM schrieb:
> Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 27. Oktober 2023 um 21:41:59 UTC+2:
>
> Vorschlag zur Güte: Du möchtest ja die Indizes von außerhalb der Matrix nehmen.

Nein. Ich nehme einen Bruch m/n, und _berechne_ mit der Cantor-Funktion
die natürliche Zahl, der der Bruch zugeordnet wird: f(n,m) = k.

> Kannst Du sie erstmal mit den Brüchen der ersten Spalte paaren und dann weiter verarbeiten?

Da habe ich eine sehr viel bessere Idee: Die Cantorsche Paarungsfunktion

f: ℕ×ℕ → ℕ , (m,n) ↦ m + (m + n - 1)(m + n - 2)/2

ist bijektiv und besitzt daher eine Umkehrfunktion f^(-1):

f^(-1): ℕ → ℕ×ℕ , k ↦ (m(k),n(k)) .

Dabei ergibt sich mit den Hilfsfunktionen
c(k) = Floor(sqrt(2*k) - 1/2),
d(c(k)) = 1/2*c(k)*(c(k) + 1)
für den durch k indizierten Bruch:
m(k) = k - d(c(k))
n(k) = c(k) - m(k) + 2 .

Du kannst also systematisch alle natürlichen Zahlen k aus der Menge ℕ
verwenden, um fortlaufend alle positiven Brüche zu indizieren.

Beispiele:

k c(k) d(c(k)) m(k) n(k)
-----------------------------------
1 0 0 1 1
2 1 1 1 2
3 1 1 2 1
4 2 3 1 3
5 2 3 2 2
6 2 3 3 1

Dieter Heidorn

On Saturday, October 28, 2023 at 5:47:53 PM UTC-3, WM wrote:
> William schrieb am Samstag, 28. Oktober 2023 um 21:55:38 UTC+2:
> > On Saturday, October 28, 2023 at 6:42:52 AM UTC-3, WM wrote:
> >
> > > Counting matrix positions as in the OP, all fractions remain at uncounted matrix positions
> > Nonsense. There is no such thing as "uncounted matrix positions"
> Where do the fractions remain?
A meaningless question. Since there is a bijection, every fraction is associated with an element of the matrix B.

At every step in your "game of billiards". there is a set of fractions associated to O's. If a last fraction in this set existed it would always be associated to an O. However, the last fraction does not "remain" anywhere because the last fraction in does not exist.

Dieter Heidorn schrieb am Samstag, 28. Oktober 2023 um 23:14:11 UTC+2:
> WM schrieb:
> > Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 27. Oktober 2023 um 21:41:59 UTC+2:
> >
> > Vorschlag zur Güte: Du möchtest ja die Indizes von außerhalb der Matrix nehmen.
> Nein. Ich nehme einen Bruch m/n, und _berechne_ mit der Cantor-Funktion
> die natürliche Zahl, der der Bruch zugeordnet wird: f(n,m) = k.

Was ist das Anderes als eine natürliche Zahl auf das so berechnete Feld der Matrix zu legen?
Was ändert es, wenn die natürlichen Zahlen zunächst in der ersten Spalte abgelegt werden?

> > Kannst Du sie erstmal mit den Brüchen der ersten Spalte paaren und dann weiter verarbeiten?
> Da habe ich eine sehr viel bessere Idee:

Lass uns erstmal meine Idee untersuchen. Oder fürchtest Du Dich davor, weil Du keine Abweichung von Cantor Ansatz findest?

Gruß, WM

Dieter Heidorn schrieb am Samstag, 28. Oktober 2023 um 22:55:42 UTC+2:

> Vollständig gekürzte positive Brüche sind keine natürlichen Zahlen - hat
> sich das noch nicht bis Augsburg herumgesprochen?

Erstens ist das Ansichtssache, aber für unser Thema ganz unwichtig, wenn wir zunächst die Ganzzahlbrüche mit den natürlichen Zahlen, die wir von irgendwoher nehmen, indizieren (sie erscheinen dann pauschal als X in der ersten Spalte). Solltest Du das ablehnen, dann wird hoffentlich jedem Leser klarwerden, dass man nach Herstellung einer Abbildung die natürlichen Zahlen nicht nochmal für eine andere Abbildung verwenden soll/darf/kann. Man muss sie immer wieder neu anfordern. Das ist doch ein merkwürdiges Ergebnis.

Gruß, WM

William schrieb am Sonntag, 29. Oktober 2023 um 00:00:18 UTC+2:
> On Saturday, October 28, 2023 at 5:47:53 PM UTC-3, WM wrote:
> > William schrieb am Samstag, 28. Oktober 2023 um 21:55:38 UTC+2:
> > > On Saturday, October 28, 2023 at 6:42:52 AM UTC-3, WM wrote:
> > >
> > > > Counting matrix positions as in the OP, all fractions remain at uncounted matrix positions
> > > Nonsense. There is no such thing as "uncounted matrix positions"
> > Where do the fractions remain?
> A meaningless question.

No, a very meaningful question.

> Since there is a bijection, every fraction is associated with an element of the matrix B.

Since no fraction ever gets indexed, there is no bijection with the matrix A. Hence the matrix B is much smaller.
>
> At every step in your "game of billiards". there is a set of fractions associated to O's. If a last fraction in this set existed it would always be associated to an O. However, the last fraction does not "remain" anywhere because the last fraction in does not exist.

No last one is required. All fractions remain in the matrix since none stays at an indexed field. Each one flees from the indexed field to the field where the index comes from. This proves that matrix A
1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5, 5/2, 5/3, 5/4, ...
....
is much, much larger than matrix B
1, 2, 4, ...
3, 5, 8, ...
6, 9,13, ...
....
It is obvious to the naked eye.

Regards, WM

On 10/28/2023 3:47 PM, Chris M. Thomasson wrote:
> On 10/26/2023 2:40 PM, Jim Burns wrote:
>> On 10/26/2023 4:37 PM, Chris M. Thomasson wrote:
>>> On 10/26/2023 11:05 AM, FromTheRafters wrote:
>>>> WM presented the following explanation :
>>>>> FromTheRafters schrieb am Mittwoch,
>>>>> 25. Oktober 2023 um 17:08:24 UTC+2:
>>>>>> WM presented the following explanation :
>>>>>>> Fritz Feldhase schrieb am Dienstag,
>>>>>>> 24. Oktober 2023 um 21:26:05 UTC+2:
>>>>>>>>> Fritz Feldhase schrieb am Montag,
>>>>>>>>> 23. Oktober 2023 um 18:02:11 UTC+2:

>>>>>>>>>> 2. A bijection is not a process.
>>>>>>>>
>>>>>>>> A BIJECTION IS NOT A PROCESS.
>>>>>>>
>>>>>>> A bijection with |N can be executed as a process.
>>>>>
>>>>> According to Cantor. Of course not in reality.
>>>>>
>>>>>> But that doesn't mean it *is* a process.
>>>>>
>>>>> A process is what can be executed as a process.
>>>>
>>>> Explain.
>>>
>>> WM:
>>> I am a ultra hardcore finite type of person...
>>> ;^o
>>
>> WM:
>> I reject arithmetic
>> in order to keep two-ended-ness.
>
> WM, I cannot count to seven because
> I have not thought of it yet...
> Its dark.

Wittgenstein:
Whereof one cannot speak,
thereof one must be silent.

Mückenheim:
Hold my beer, while
I speak about that which
thereof one cannot speak:
dark actual-infinity.

On Sunday, October 29, 2023 at 6:30:13 AM UTC-3, WM wrote:

> Since no fraction ever gets indexed, there is no bijection with the matrix

This is silly. A ordered pair is "indexed" at every element of the matrix B

William schrieb am Sonntag, 29. Oktober 2023 um 21:10:19 UTC+1:
> On Sunday, October 29, 2023 at 6:30:13 AM UTC-3, WM wrote:
>
> > Since no fraction ever gets indexed, there is no bijection with the matrix
> This is silly. A ordered pair is "indexed" at every element of the matrix B

Many ordered pairs (m, n) defining positions of the matrix are indexed.
But obviously all positions which are occupied by fractions are no indexed.

Regards, WM